問題P3の解答

問題３の（a）解答

各々の式を以下のようにラプラス変換する。

 dx1(t)
───  = - x1(t) + r(t) ,      （ラプラス変換） ⇒　　s･X1(s) - x1(0) = - X1(s) + R(s), 　　　　　　（ x1(0)=0 より）⇒　　s･X1(s)  = - X1(s) + R(s), 　　　　 　・・・（１）
  dt

 dx2(t)
───  = x1(t) - u(t) ,        （ラプラス変換） ⇒　　s･X2(s) - x2(0) = X1(s) - U(s), 　　　　　　　（ x2(0)=0 より）⇒　　s･X2(s)  = X1(s) - U(s), 　　　　　　 　・・・（2）
  dt

式（１）から、X1(s) =R(s)/(s+1) となり、以下のブロック線図が得られる。


 

問題２の（b）の解答

各々の式を以下のようにラプラス変換する。

 dx1(t)
───  = - x1(t) + r(t) ,      （ラプラス変換） ⇒　　s･X1(s) - x1(0) = - X1(s) + R(s), 　　　　　　（ x1(0)=1 より）⇒　　s･X1(s) - 1  = - X1(s) + R(s), 　　　 　・・・（１）
  dt

 dx2(t)
───  = x1(t) - u(t) ,        （ラプラス変換） ⇒　　s･X2(s) - x2(0) = X1(s) - U(s), 　　　　　　　（ x2(0)=1 より）⇒　　s･X2(s) - 1  = X1(s) - U(s), 　　　　　 　・・・（2）
  dt

r(t) = 1, for  t≧0,  r(t) = 0,  for  t＜0,                   （ラプラス変換） ⇒　R(s)=1/s,                                          ・・・（3）

u(t) = 1 - cos(t),  for  t≧0,  u(t) = 0,  for  t＜0,     （ラプラス変換） ⇒　 U(s)=1/s - s/(s2+1) = 1/[s(s2+1)]       ・・・（4）

式（１）（２）（３）（4）より、X2(s)を以下のように算出する。

X2(s) =  (X1(s) - U(s) + 1)/s = [ (R(s) + 1)/(s+1) - U(s) + 1]/s = {(1/s + 1)/(s+1) - 1/[s(s2+1)] +1}/s

　　　 ={1/s - 1/[s(s2+1)] +1}/s = 1/s + 1/(s2+1)

これをラプラス逆変換をして、次の解を得る。

x2(t)  = L-1[1/s + 1/(s2+1)] = 1 + sin(t)

問題２の（c）の解答

各々の式を以下のようにラプラス変換する。

 dx1(t)
───  = - x1(t) + r(t) ,      （ラプラス変換） ⇒　　s･X1(s) - x1(0) = - X1(s) + R(s), 　　　　　　（ x1(0)=1 より）⇒　　s･X1(s)   = - X1(s) + R(s), 　　　 　・・・（１）
  dt

 dx2(t)
───  = x1(t) - u(t) ,        （ラプラス変換） ⇒　　s･X2(s) - x2(0) = X1(s) - U(s), 　　　　　　　（ x2(0)=1 より）⇒　　s･X2(s) - 1  = X1(s) - U(s), 　　 　・・・（2）
  dt

r(t) = 1 + δ(t), for  t≧0,  r(t) = 0,  for  t＜0,            （ラプラス変換） ⇒　R(s)=1/s + 1,                                    ・・・（3）

u(t) = 1 - cos(t),  for  t≧0,  u(t) = 0,  for  t＜0,        （ラプラス変換） ⇒　 U(s)=1/s - s/(s2+1) = 1/[s(s2+1)]       ・・・（4）

式（１）（２）（３）（4）より、X2(s)を以下のように算出する。

X2(s) =  (X1(s) - U(s) + 1)/s = [ R(s)/(s+1) - U(s) + 1]/s = {(1/s + 1)/(s+1) - 1/[s(s2+1)] +1}/s

　　　 ={1/s - 1/[s(s2+1)] +1}/s = 1/s + 1/(s2+1)

これをラプラス逆変換をして、次の解を得る。

x2(t)  = L-1[1/s + 1/(s2+1)] = 1 + sin(t)

この問題を通して修得して欲しいポイントは、


上記問題を自信を持って解けた人は、おめでとう！

自信を持てない人は、第三講の要旨と内容を再度読み直してみて下さい。
質問のある方は、m-adachi@02.246.ne.jp  まで、メールして下さい。