入力信号  sin(2t)　のラプラス変換は、2/(s²+4)　であるから、
            1          2
Y(s) = ── ･ ───､　　となる。これを部分分数展開して、
          s+1      s²+4

           0.4       -0.4s+0.4       0.4       -0.4s             0.2 ･2
Y(s) = ── +  ───── = ── +  ─────  + ──── ､　　を得る。これをラプラス逆変換して　y(t)　を得る。
          s+1          s²+4          s+1          s²+4              s²+4

  y(t) = L^-1[Y(s)] = 0.4e^-t  - 0.4cos(2t) + 0.2sin(2t)

   0.4e^-tは　t→∞　で零になるので、y(t) の定常応答は　- 0.4cos(2t) + 0.2sin(2t)　となる。

入出力信号の振幅比と位相差は、伝達関数を　G(s)　で表すとき、|G(2j)|、  ∠G(2j)　であることから求める。

　G(2j) = 1/(2j +1) = (1-2j)/5 ,

よって、　　|G(2j)|　は、1/5 の平方根であり、近似的に、-6.99[dB] である。

             ∠G(2j)　は、tan^-1(-2) で、0度から -180度の間にあるから、近似的に、 -63.4 [度]となる。

（注）伝達関数の分母は ｓ の 2次式、分子は 0次式、よって、G(ωj) の位相角は、0 〜 -180 度の間にある。

問題５の（b）解答

入力信号  cos(t)　のラプラス変換は、s/(s²+1)　であるから、
            1         s
Y(s) = ── ･ ───､　　となる。これを部分分数展開して、
          s+1      s²+1

          -0.5      0.5         0.5s
Y(s) = ── + ─── + ───､　　を得る。これをラプラス逆変換して　y(t)　を得る。
          s+1      s²+1       s²+1

  y(t) = L^-1[Y(s)] = - 0.5e^-t   + 0.5cos(t) + 0.5sin(t)

   -0.5e^-tは　t→∞　で零になるので、y(t) の定常応答は　 0.5cos(t) + 0.5sin(t)　となる。

入出力信号の振幅比と位相差は、伝達関数を　G(s)　で表すとき、|G(j)|、  ∠G(j)　であることから求める。

　G(j) = 1/(j +1) = (1-j)/2,

よって、　　|G(j)|　は、1/2 の平方根であり、近似的に、-3.01[dB] である。
             ∠G(j)　は、tan^-1(-1) であり、-45 [度] となる。
 

問題５の（c）解答

問題（a）,（b）の入力周波数は、各々 2 [rad/sec] と 1 [rad/sec] であるので、G(ωj) のボード線図上の該当する
周波数の所に×印を入れると下図となる。

問題５の（ｄ）解答

 単位ステップ関数のラプラス変換は、　1/s　より、

                                    1        1
  y(t) = L^-1[Y(s)] = L^-1[ ── ･ ─ ] ,  となる。これを部分分数展開して、
                                  s+1      s
                    1        1
  y(t) =  L^-1[ ─ -  ── ] ,     を得る。 これをラプラス逆変換して　y(t)　を得る。
                   s       s+1

  y(t) = 1- e^-t

これをグラフにし、以下を得る。

この問題を通して修得して欲しいポイントは、

• 周波数応答と周波数伝達関数の意味の習得
• ボード線図の理解

自信を持てない人は、第五講の要旨と内容を再度読み直してみて下さい。
質問のある方は、m-adachi@02.246.ne.jp  まで、メールして下さい。