入力信号  sin(2t)　のラプラス変換は、2/(s²+4)　であるから、
               2             2
Y(s) = ──── ･ ───､　　となる。これを部分分数展開して、
          s²+3s+2      s²+4

           0.8     0.5         0.3s+0.2
Y(s) = ── - ──  -  ─────､　　を得る。これをラプラス逆変換して　y(t)　を得る。
          s+1     s+2         s²+4

  y(t) = L^-1[Y(s)] = 0.8e^-t - 0.5e^-2t - 0.3cos(2t) - 0.1sin(2t)

   0.8e^-t - 0.5e^-2tは　t→∞　で零になるので、y(t) の定常応答は　- 0.3cos(2t) - 0.1sin(2t)　となる。

入出力信号の振幅比と位相差は、伝達関数を　G(s)　で表すとき、|G(2j)|、  ∠G(2j)　であることから求める。

　G(2j) = 2/[(2j)² + 3(2j) +2] = 2/(-2 + 6j) = 1/(-1+3j) = (-1-3j)/10,

よって、　　|G(2j)|　は、10/100 の平方根であり、近似てきに、 23.0 [db]

             ∠G(2j)　は、tan^-1(3) で、0度から -180度の間にあるから、近似的に、- 108.4 [度] となる。　

（注）伝達関数の分母は ｓ の 2次式、分子は 0次式、よって、G(ωj) の位相角は、0 〜 -180 度の間にある。

問題４の（b）解答

入力信号  cos(t)　のラプラス変換は、s/(s²+1)　であるから、
               2             s
Y(s) = ──── ･ ───､　　となる。これを部分分数展開して、
          s²+3s+2      s²+1

           -1      0.8       0.2s+0.6
Y(s) = ── + ── + ─────､　　を得る。これをラプラス逆変換して　y(t)　を得る。
          s+1     s+2        s²+4

  y(t) = L^-1[Y(s)] = - e^-t  + 0.8e^-2t + 0.2cos(t) + 0.6sin(2)

   - e^-t + 0.8e^-2tは　t→∞　で零になるので、y(t) の定常応答は　 0.2cos(t) + 0.6sin(t)　となる。

入出力信号の振幅比と位相差は、伝達関数を　G(s)　で表すとき、|G(j)|、  ∠G(j)　であることから求める。

　G(j) = 2/[(j)² + 3(j) +2] = 2/(1 + 3j)  = (1-3j)/5,

よって、　　|G(j)|　は、10/25 の平方根であり、近似てきに、 9.16 [db]
             ∠G(j)　は、tan^-1(-3) で、0度から -180度の間にあるから、近似的に、-71.6 [度] となる。
 

問題４の（c）解答

問題（a）,（b）の入力周波数は、各々 2 [rad/sec] と 1 [rad/sec] であるので、G(ωj) のボード線図上の該当する
周波数の所に×印を入れると下図となる。

この問題を通して修得して欲しいポイントは、

• 周波数応答と周波数伝達関数の意味の習得
• ボード線図の理解

自信を持てない人は、第五講の要旨と内容を再度読み直してみて下さい。
質問のある方は、m-adachi@02.246.ne.jp  まで、メールして下さい。